METODO DE SUSTITUCION EN UN SISTEMA DE ECUACIONES

. Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones.

. Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo un ecuación con una sola incógnita.

. Se resuelve la ecuación.

. El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada.

. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

PRODUCTO DE ENTEROS

MULTIPLICACION DE NUMEROS ENTEROS

Para hallar el producto de dos números enteros:

• Multiplicamos sus valores absolutos
• Al resultado obtenido le ponemos el signo + si los dos factores son del mismo signo y, el signo -, si los factores tienen signos contrarios.

PRODUCTO DE VARIOS ENTEROS

Si en un producto hay más de dos factores, multiplicamos primero los valores absolutos y ponemos al producto el signo + o - según que el número de factores negativos sea par o impar.

• Par : +
• Impar: -

PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE NÚMEROS ENTEROS

• Prop. conmutativa: el orden de los factores no altera el producto.
• a * b = b * a

• Prop. asociativa: el producto de varios enteros no depende del orden en que los asociemos.
• (a * b) * c = a * (b * c)

• Prop. distributiva: del producto respecto a la suma, dado tres enteros, a, b y c  se cumple:
• a (b + c) = a * b + a * c

• Sacar factor común: dados tres enteros, a, b y c se cumple:
• a * b + a * c = a * (b + c)

ELEMENTO NEUTRO DEL PRODUCTO DE ENTEROS

El número entero +1 es el único que tiene dicha propiedad y se le llama elemento neutro del producto de enteros.

SUMA Y RESTA DE NUMEROS ENTEROS Y PROPIEDADES DE LA SUMA

SUMA DE NUMEROS ENTEROS DE MISMO SIGNO

Para sumar números enteros de igual signo se suman sus valores absolutos y se pone el mismo signo que tienen los sumandos.

SUMA DE ENTEROS DE DISTINTO SIGNO

Para sumar enteros de distinto signo, se restan sus valores absolutos y se pone el signo del sumando de mayor valor absoluto.

PROPIEDADES DE LA SUMA DE NUMEROS ENTEROS

• Prop. Conmutativa: el orden de los sumandos no altera la suma: 
• a+b = b+a
• Prop. Asociativa: la suma de varios sumandos no depende del orden en que los asociemos:
• (a + b) + c = a + (b + c)
• Elemento opuesto: dos números enteros son opuestos si su suma es cero. Todo número entero tiene un opuesto.
• Opuesto del opuesto: el opuesto del opuesto de un número entero es el mismo número.
• Opuesto de una suma: el opuesto de una suma es igual a la suma de los opuestos de los sumandos.

RESTA DE NUMEROS ENTEROS

Para restar dos enteros se suma al primero el opuesto del segundo.

MULTIPLOS Y DIVISORES - PROPIEDADES

MULTIPLOS Y DIVISORES - PROPIEDADES

Un número natural 'A' es múltiplo de otro 'B' si al dividir 'A' entre 'B', la división es exacta.

Un número se expresa que es múltiplo de otro de la forma:

PROPIEDADES

1. Todo número 'A' es múltiplo de sí mismo. Todo número 'A' es divisor de sí mismo.

2. Todo número 'A' es múltiplo de 1. El número 1 es divisor de cualquier numero 'A'.

3. Si 'A' y 'B' son múltiplos de 'C' entonces 'A+B'  es también multiplo de 'C'.

4. Si 'A' y 'B' son múltiplos de 'C (A>B)', entonces 'A-B' es también multiplo de 'C'.

ESTIMACION - VALOR ESTIMADO

ESTIMACION - VALOR ESTIMADO

A veces nos interesa dar un valor estimado. Un procedimiento a utilizar es el redondeo de los sumandos, para efectuar el redondeo de un número se elige una unidad como orden de redondeo. Si la cifra siguiente es mayor o igual a 5, se aumenta en una unidad y en caso contrario se mantiene.

Así un número 2528 lo podemos redondear a distintas unidades de orden:

2528 a unidades de millar puede ser unos 3000 Aprox.

2528 a centenas puede ser 2500 Aprox.

2528 a decenas puede ser 2530 Aprox.

Cuanto más bajo sea la unidad a mirar más cercano al número a redondear será. Nos damos cuenta del error cometido en la estimación con la resta siempre positiva entre el resultado exacto y el resultado estimado.

Cuando queremos hacer estimaciones rápidas el redondeo es útil aunque disponemos de un método más sencillo que es el truncamiento, se trata de tomar solo los dígitos de la izquierda más representativos y poner el resto a 0. El truncamiento es en general es más sencillo pero se suele cometer el error mayor respecto al redondeo.

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

• Un número es divisible por 2 si acaba en cifra par.
• Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3.
• Un número es divisible por 5 si acaba en 0 o en 5.
• Un número es divisible por 6 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3 y acaba en cifra par.
• Un número es divisible por 7 si separando la primera cifra de la derecha, multiplicándola por 2 y restando  este producto de lo que queda a la izquierda y así sucesivamente hasta el final que tiene que dar 0 o 7 o múltiplo de 7.
• Un número es divisible por 8 si las 3 últimas cifras acaban en 000 o forman un múltiplo de 8.
• Un número es divisible por 9 si la suma de sus dígitos es un múltiplo de 9.
• Un número es divisible por 10 si acaba en 0.
• Un número es divisible por 11 si al sumar las cifras de la posición par y restarle las de la posición impar, da como resultado 0, 11 o múltiplo de 11.

NUMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS

NUMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS

Se llama números primos a aquellos números que admiten una sola descomposición como producto de dos factores, y números compuestos a aquellos que admiten más de una descomposición.

Los números primos son divisibles por ellos mismos y por la unidad, mientras los compuestos, son además por otro número natural.

OPERACIONES CON NÚMEROS NATURALES

OPERACIONES CON NÚMEROS NATURALES

La suma y el producto de dos números naturales siempre es otro número natural.

Sin embargo, la diferencia y el cociente de dos números naturales, no siempre es otro número natural. Por ejemplo, para que la diferencia de dos números naturales sea otro número natural, el minuendo ha de ser mayor que el sustraendo.

En el caso de dividir dos números naturales, la división no siempre es exacta, por lo que el cociente de dos números naturales no siempre es otro número natural.

En el caso de la potencia como tenemos que al multiplicar dos números naturales resulta un número natural, pues en esos casos todas las potencias, que en la base y el exponente sean números naturales serán como resultado otro número natural.

Hay que saber que la raíz cuadrada de un número natural no siempre es un número natural. 

SISTEMA DE NUMERACION DECIMAL

SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL

El sistema de numeración es el sistema utilizado para expresar números en forma oral y escrita.

Se llama decimal porque cada diez unidades forman una decena, cada diez decenas forman una centena, cada diez centenas forman una unidad de millar y así sucesivamente.

Cada unidad de un orden equivale a 10 unidades de orden inmediato inferior.

En orden descendente del punto hacia la derecha, lo que son los decimales.

El valor de una cifra según el lugar que ocupa se llama valor de posición o valor relativo.

Expresión polinómica es una expresión de un número mediante potencias de 10.